Sıralama

SIRALAMA

 

A. TANIM

a, b ye eşit değilse, “a ¹ b” biçiminde yazılır.

a ¹ b ise bu durumda;

a > b, “a büyüktür b den” ya da

a < b, “a küçüktür b den” olur.

Gerçel (reel) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.

Yukarıdaki sayı doğrusuna göre; a < b < c dir.

x > y, x ³ y, x < y ve x £ y şeklindeki ifadelere eşitsizlik denir.

 

B. SIRALAMANIN ÖZELİKLERİ

x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,

  1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.• a < b ise a + c < b + c dir.

    • a < b ise a – c < b – c dir.

     

  2. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü aynı kalır.• a < b ve c > 0 ise a × c < b × c dir.

    • a < b ve c > 0 ise dir.

     

  3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.• a < b ve c < 0 ise a × c > b × c dir.

    • a < b ve c < 0 ise dir.

     

  4. Eşitsizliklerde geçişme özeliği vardır.

(x < y ve y < z) ise x < z dir.

  1. Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir; fakat çıkarılamaz.

(x < y ve a < b) ise x + a < y + b dir.

  1. x ile y aynı işaretli olmak üzere,

  1. x ile y zıt işaretli olmak üzere,
  2. ve 0 < a < b ise an < bn dir.
  3. ve a < b < 0 olsun.

n çift sayma sayısı ise an > bn dir.

n tek sayma sayısı ise an < bn dir.

  1. – {1} olmak üzere,• a > 1 ise, an > a dır.

    • 0 < a < 1 ise, an < a dır.

    • – 1 < a < 0 ise, an > a dır.

  1. (0 < a < b ve 0 < c < d) ise,

0 < a × c < b × d

f(x) < g(x) < h(x) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi;

f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi ile g(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesinin kesişimidir.

 

• a × b < 0 ise a ile b ters işaretlidir.

• a × b > 0 ise a ile b aynı işaretlidir.

 

 

C. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI

1. Kapalı Aralık

a ile b reel sayılar ve a < b olsun.

a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme,

[a, b] veya a £ x £ b , x Î şeklinde gösterilir ve bu şekilde tanımlanan aralıklara kapalı aralık denir.

 

2. Açık Aralık

a, b Î ve a < b olsun.

[a, b] kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.

Açık aralık, x Î olmak üzere, (a, b) biçiminde ya da a < x < b biçiminde gösterilir.

 

3. Yarı Açık Aralık

a, b Î ve a < b olsun.

[a, b] kapalı aralığının uç noktalarından biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık aralık denir.

[a, b] kapalı aralığından b noktası çıkarılırsa [a, b) veya x Î olmak üzere,

a £ x < b yarı açık aralığı elde edilir.

[a, b] kapalı aralığından a noktası çıkarılırsa (a, b] veya x Î olmak üzere, a < x £ b yarı açık aralığı elde edilir.

[a, b] aralığının uzunluğu, b – a dır.

 

 

Mutlak Değer

MUTLAK DEĞER

 

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır.

 

 

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

  1. |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
  2. |x × y| = |x| × |y|
  3. |xn| = |x|n
  4. y ¹ 0 olmak üzere,

  1. |x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
  2. a ³ 0 ve x Î olmak üzere,

|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

  1. |x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
  2. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

  1. x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

K = |x – a| – |x – b|

olmak üzere,

x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

  1. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| < a ise, –a < x < a dır.

b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.

  1. a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.

b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.

  • a < b ve c Î olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c

eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

 

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise, x = –a dır.

x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)

–b £ x, –b < x £ –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b £ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b £ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

2. Durum

–b < x £ –a ise, –x – a + x + b = c olur.

Bu denklemin kökü –b < x £ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

 

2. Yöntem

a < b ve c Î olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c … ()

eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.

(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,

() daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = [–b, –a] dır.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,

() daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = Æ dir.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,

() daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, () daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda () daki denklemin çözüm kümesi,

Ç {–b – D, –a + D} olur

Üslü İfadeler

A. TANIMa bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.

k × an ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban, n ye üs denir.

 

B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ

  1. a ¹ 0 ise, a0 = 1 dir.
  2. 00 tanımsızdır.
  3. n Î ise, 1n = 1 dir.
  4. (am)n = (an)m = am×n
  5. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
  6. Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
  7. n bir tam sayı ve a sıfırdan farklı bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,a) (–a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir.b) (–a2n) = –a2n ifadesi daima negatiftir.c) (–a)2n + 1 = –a2n + 1 ifadesi; a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.
  8. (n + 1) basamaklı sayısı a × 10n ye eşittir.

 

x, n basamaklı olmak üzere,

 

 

C. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

  1. x × an + y × an – z × an = (x + y – z) × an
  2. am × an = am + n
  3. am × bm = (a × b)m

 

 

D. ÜSLÜ DENKLEMLER

  1. a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ –1 olmak üzere,

ax = ay ise x = y dir.

  1. n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise,

x = y dir.

  1. n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise,

x = y veya x = –y dir.

 

Köklü İfadeler

KÖKLÜ İFADELER

 

A. TANIM

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n yinci dereceden kökü denir.

 

B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELİKLERİ

1) n tek ise, daima reeldir.

2) n çift ve a < 0 ise, reel sayı belirtmez.

3) a ³ 0 ise, daima reeldir.

4) a ³ 0 ise,

5) n tek ise,

6) n çift ise,

7)

8) n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

9) n tek ise,

 

10) a, pozitif reel (gerçel) sayı olmak üzere,

11) k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere;

12) (a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise

 

C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN İŞLEMLER

1. Toplama – Çıkarma İşlemi

Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin kat sayıları toplanır ya da çıkarılır. Bulunan sonuç köklü ifadenin kat sayısı olur.

 

2. Çarpma İşlemi

n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,

 

3. Bölme İşlemi

Uygun koşullarda,

 

4. Paydayı Kökten Kurtarma

Uygun koşullarda,

 

D. İÇ İÇE KÖKLER

 

E. SONSUZ KÖKLER

Yukarıdaki son iki özelikte a, ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise; 5. nin cevabı bu sayıların büyüğü, 6. nın cevabı bu sayıların küçüğüdür.

 

F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA

Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır.

05-06 OCAK 2013 TARİHİNDE YAPILAN GÜZ DÖNEMİ ARA SINAV SORULARI YAYINLANDI.

Sorulara http://yillik.eogrenme.anadolu.edu.tr/Portal/Giris.aspx sitesinden öğrenebilirsiniz..

Çarpanlara Ayırma

ÇARPANLARA AYIRMA

 

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

 

 

B. ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı – Toplamı

1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab

 

2. İki Küp Farkı – Toplamı

1) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )

3) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

4) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 

3. n. Dereceden Farkı – Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn – yn = (x – y)(xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.

 

4. Tam Kare İfadeler

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,

• (a – b)2n = (b – a)2n

• (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

 

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

 

 

5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

• (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

• (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

 

• a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)

• a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

• a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)

 

a3 + b3 + c3 – 3abc =

(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

 

C. ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.

 

1. YÖNTEM

1. a = 1 için,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2. a ¹ 1 İken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

 

2. YÖNTEM

Çarpımı a × c yi,

toplamı b yi veren iki sayı bulunur.

Bulunan sayılar p ve r olsun.

Bu durumda,

daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır

Oran – Orantı

ORAN – ORANTI

 

A. ORAN

a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, ye a nın b ye oranı denir.

• Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz.

• Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.

• Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür olmalıdır.

• Oranın sonucu birimsizdir.

 

 

B. ORANTI

En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani oranı ile nin eşitliği olan ye orantı denir.

ise, a:c=b:d dir. Burada

a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.

 

 

C. ORANTININ ÖZELİKLERİ

3) m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,

ise, (k ya orantı sabiti denir.)

 

a : b : c = x : y : z ise,

 

a = x × k, b = y × k, c = z × k,

 

 

D. ORANTI ÇEŞİTLERİ

1. Doğru Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.

x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k × x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği diğer sayfada verilmiştir.

x ile y çokluklarının doğru orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0 ve y > 0)

• İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.

• Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.

 

2. Ters Orantılı Çokluklar

Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.

x ile y çoklukları ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, ifadesine ters orantının denklemi denir.

 

x ile y çokluklarının ters orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0, y > 0 ve k > 0)

• İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.

• Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.

 

a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere,

 

 

E. ARİTMETİK ORTALAMA

n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.

Buna göre, x1, x2, x3, … , xn sayılarının aritmetik ortalaması, dir.

 

• a ile b nin aritmetik ortalaması

• a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,

• n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.
Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.

 

F. GEOMETRİK ORTALAMA

n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.r.

Buna göre,

x1, x2, x, … , xn sayılarının geometrik ortalaması dir.

 

•a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı) dir.

•a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması, dir.

•a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise
a = b dir.

 

G. HARMONİK (AHENKLİ) ORTA

x1, x2, x3, … , xn sayılarının harmonik ortalaması

  • a ile b nin harmonik ortalaması

  • a, b, c gibi üç sayının harmonik ortalaması

  • İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,

i) G2 = A × H dır.

ii) H £ G £ A dır.

 

H. DÖRDÜNCÜ ORANTILI

orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı denir.

 

Denklem Çözme

DENKLEM ÇÖZME

 

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

 

B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

Denklem çözümünde aşağıdaki özeliklerden yararlanırız.

  1. Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı ilave edilirse eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a + c = b + c dir.

  1. Bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a – c = b – c dir.

  1. Bir eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a × c = b × c dir.

  1. Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile bölünürse eşitlik bozulmaz.
  1. Bir eşitliğin her iki tarafının n. kuvveti alınırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, an = bn dir.

  1. (a = b ve b = c) ise, a = c dir.
  2. (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d dir.
  3. (a = b ve c = d) ise, a × c = b × d dir.
  4. a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.
  5. a × b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.

 

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

  1. a ¹ 0 olmak üzere,
  1. (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi dir.
  2. (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.

 

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î , a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

a, b, c Î olmak üzere,

ax + by + c = 0

denklemi her (x, y) Î 2 için sağlanıyorsa

a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

 

Çözüm Kümesinin Bulunması

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.

Biz burada üçünü vereceğiz.

a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.

 

b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.

 

c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.

 

Ü ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sistemini göz önüne alalım:

Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.

ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sisteminde,

 

Birinci durum:

ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.

 

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.

 

İkinci durum:

ise, bu iki doğru çakışıktır.

 

Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.

 

Üçüncü durum:

ise, bu iki doğru paraleldir.

 

Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir

Denklem Kurma Problemleri

DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ

 

A. PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ

Ü Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.

Buna göre, soruları çözerken;

  1. Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.
  2. Verilenler matematik diline çevrilir.
  3. Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.
  4. Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.

 

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.

  1. Herhangi bir sayı x olsun.Bu sayının a fazlası : x + a dır.

    Bu sayının a fazlasının yarısı : dir.

Bu sayının yarısının a fazlası : dır.

Bu sayının küpünün a eksiği : x3 – a dır.

 

  1. Herhangi iki sayı x ve y olsun.

Bu iki sayının toplamının a katı : a × (x + y) dir.

Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir.

Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir.

 

  1. Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.Ardışık üç tam sayının toplamı :

    x + (x + 1) + (x + 2) dir.

    Ardışık üç çift sayının toplamı :

    x + (x + 2) + (x + 4) tür. (x, çift sayı)

    Ardışık üç tek sayının toplamı :

    x + (x + 2) + (x + 4) tür. (x, tek sayı)

 

 

C. KESİR PROBLEMLERİ

a, b Î ve b ¹ 0 için ye kesir denir.

  • Herhangi bir sayı x olsun.

 

D. YAŞ PROBLEMLERİ

  • Bir kişinin yaşı x ise,T yıl önceki yaşı : x – T

    T yıl sonraki yaşı : x + T olur.

  • Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.
  • İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.
  • İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2 × T artar.
  • n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n × T artar.

 

E. İŞÇİ – HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;

A işçisi tek başına a saatte,

B işçisi tek başına b saatte,

C işçisi tek başına c saatte

yapabiliyorsa;

  • A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.
  • A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.
  • A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir.

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.

  • A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa, dir.

 

Ü Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.
Ü A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.

Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.

Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

sini doldurur.

  • A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor. Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor ise, bu iki musluk aynı anda açıldığında bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.

 

F. HAREKET PROBLEMLERİ

v : Hareketlinin hızı

x : Hareketlinin v hızıyla t sürede aldığı yol

t : Hareketlinin v hızıyla x yolunu alma süresi ise,

  • Aralarında x km olan iki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi olur.

İki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi,

 

  • Aralarında x km olan iki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (v1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi dir.

İki araç saatte v1 km ve v2 km hızla aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı yakalama süresi,

 

  • Eşit zamanda v1 ve v2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı, dir.
  • Belirli bir yolu v1 hızıyla gidip v2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı, dir.

 

G. YÜZDE PROBLEMLERİ

  • A sayısının % a sı: olur.
  • A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı:
  • A ya A nın % a sı eklenirse:
  • A dan A nın % a sı çıkarılırsa:

 

H. FAİZ PROBLEMLERİ

F : Faiz miktarı

A : Anapara (Kapital)

n : Yıllık faiz oranı

t : Kapitalin faizde kalma süresi olmak üzere,

Ü Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.

Buna göre, A lira yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra

 

I. KARIŞIM PROBLEMLERİ

Ü

A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karış-tırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı

Ü Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı
% (100 – A) dır.

2013 Açıköğretim Sınav Tarihleri

ee

 

2012 – 2013 eğitim öğretim yılı için planlanan açıköğretim sınav tarihleri yayımlandı. Sınav tarihlerine aşağıdan bakabilirsiniz.

2012 – 2013 Öğretim yılı itibari ile tüm açıköğretim bölümleri kredili sisteme geçti. Geçen yılki geçiş döneminde sınav tarihleri biraz karışık olmuş, öğrencilerin kafası karışmıştı. Bu yıl tüm bölümlerin kredili sisteme geçmesi ile sınav tarihleri tüm bölümler için aynı oldu.

Kredili bölümde güz dönemi ve bahar dönemi olduğunu hatırlatalım. Önceden sadece bir vize ve bir final sınavı var iken artık her iki dönem içinde vize ve bütünleme sınavı yapılıyor.

Yeni kayıt olan öğrenciler için sınava oldukça uzun bir süre var. Kayıt yenileme yapacak öğrenciler için ise biraz daha kısa bir zaman kalıyor. Kayıt yenileme işleminizi erken yapıp kitaplarınızı alarak hemen ders çalışmaya başlamanızı öneriyoruz.

2012- 2013 ÖĞRETİM YILI AÖF SINAV TARİHLERİ

Güz Dönemi Sınav Tarihleri:
Ara Sınav (Vize) : 05 – 06 Ocak 2013
Dönem Sonu Sınavı (Final) : 09 – 10 Şubat 2013

Bahar Dönemi Sınav Tarihleri:
Ara Sınav (Vize) : 04 – 05 Mayıs 2013
Dönem Sonu Sınavı (Final) : 01 – 02 Haziran 2013